Suchen

Berechnen der Potenzen von Φ

Es folgt nun ein kurzer Abschnitt, der sich mit der Berechnung der Potenzen von Φ befasst. Φ ist ja, wie wir bereits wissen, eine irrationale Zahl mit unendlich vielen, nicht periodisch auftretenden Stellen nach dem Komma. Und einigermaßen aufwendig ist daher die Berechnung ihrer Potenzen, da wir dafür die Zahl immer wieder mit sich selbst multiplizieren müssen.

Glücklicherweise verfügt unsere Wunderzahl aber über Eigenschaften, die uns das Potenzieren sehr erleichtern bzw. sogar komplett ersparen.

Ich gehe zunächst von dieser bereits bekannten Formel aus:

Mit dieser Formel habe ich zugleich auch die 1. Potenz von Φ berechnet, denn es gilt die triviale Tatsache:

Φ¹ = Φ

Um die 2. Potenz von Φ zu berechnen, muss ich die erste Potenz einmal mit sich selbst multiplizieren. Normalerweise schreiben wir dafür:

Φ⋅Φ = Φ¹⋅Φ¹ = Φ¹⁺¹ = Φ²

Für jede weitere Potenz müssen wir nur je ein weiteres Mal mit Φ multiplizieren:

Das können wir beliebig oft wiederholen.

In der Praxis werden wir dafür wohl meistens einen Taschenrechner verwenden und dort z. B. für die Berechnung der 9. Potenz von Φ Folgendes eintippen:

Als Ergebnis erhalten wir anschließend auf dem Display die Zahl 76,0132 (bei einer 4-stelligen Genauigkeit nach dem Komma).

Haben wir keinen Taschenrechner zur Hand, wird es deutlich mühsamer. Denn um die 9. Potenz von Φ »von Hand« zu berechnen, bleibt uns nichts anderes übrig, als Φ 7-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Ich habe mich hier nicht vertippt, ich meine tatsächlich 7-mal. Denn die erste Potenz brauchen wir nicht auszurechnen, das ist die Zahl Φ selbst. Für die 2. Potenz zählen wir einfach 1 dazu – das haben wir bereits gelernt. Erst ab der 3. Potenz müssen wir tatsächlich rechnen.

Es geht aber auch viel einfacher. Denn die »Grund-Formel«

lässt sich (durch Multiplikation mit Φ auf beiden Seiten der Gleichung) umformen zu

Φ² = Φ + 1

(auch dies ist uns schon bekannt). In der Folge muss nun auch gelten:

Φ³ = Φ²Φ = (Φ + 1)Φ = Φ² + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2Φ + 1

Mit diesem Ergebnis wird das Rechnen »von Hand« bereits wesentlich einfacher, denn eine Multiplikation mit 2 erfordert weitaus weniger Rechenschritte als eine Multiplikation mit 1,618034....

Die 4. Potenz kann ich nun mit diesem »Trick« ebenfalls sehr einfach berechnen:

Φ⁴ = Φ³Φ = (2Φ + 1)Φ = 2Φ² + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 2Φ + 2 + Φ = 3Φ + 2

Ich berechne auf die selbe Weise nun auch noch die 5. Potenz:

Φ⁵ = Φ⁴Φ = (3Φ + 2)Φ = 3Φ² + 2Φ = 3(Φ + 1) + 2Φ = 3Φ + 3 + 2Φ = 5Φ + 3

Wir erkennen bereits das Muster, wie weitere Potenzen entstehen, ohne dass wir viel rechnen müssen:

Hier liegen sie uns lang ausgestreckt zu Füßen, unsere Freunde, die Fibonacci-Zahlen! :-)

Um die oben erwähnte 9. Potenz von Φ auszurechnen, genügt es also, wenn wir Φ mit 34 multiplizieren und 21 dazuzählen – wir erhalten das gleiche Ergebnis.

Gibt es für negative Potenzen ebenfalls eine so einfache »Abkürzung«? Ja, auch die negativen Potenzen können wir, ausgehend von unserer »Grund-Formel«

leicht berechnen. Wir können die Formel nämlich auch auf folgende Weise aufschreiben:

Daraus folgt:

Jetzt haben wir alle nötigen Zutaten, um unsere Tabelle mit den »vereinfachten« Potenzen von Φ zu vervollständigen, und sehen, dass sich die Fibonacci-Zahlen wie zu erwarten im negativen Bereich nahtlos fortsetzen. Auch das Muster der alternierenden Vorzeichen ist uns erhalten geblieben:

Weiterlesen